牛頓法求根的近似值

           牛頓法( Newton's method ),又稱為牛頓-拉夫遜方法( Newton-Raphson method ),

它是一種在實數域和複數域上,近似求解方程式的方法。

方法使用函數f(x)的泰勒級數的前面幾項,來尋找方程式f(x) = 0的根。

           選擇適當的點 計算相應的和切線斜率

然後我們計算,穿過點並且斜率為的直線,

x軸的交點的x坐標,也就是求如下方程式的解:

1

我們將新求得的點的x坐標,命名為 通常會比更接近方程式f(x) = 0的解。

因此我們現在可以利用,開始下一輪遞迴。遞迴公式可化簡如下所示:

已經證明,如果f'是連續的, 並且待求的x是孤立的,

那麼在點x周圍存在一個區域,只要初始值位於這個鄰近區域內,

那麼牛頓法必定收斂。並且,如果f'(x)不為0,那麼牛頓法將具有平方收斂的性能。

粗略的說,這意味著每遞迴一次,牛頓法結果的有效數字將增加一倍。

 

GSP檔案製作方法:

           牛頓法GSP檔案中,主要是以參數式的遞迴方法製作,並以步驟化的介面呈現。

利用遞迴功能製作的過程簡介如下:

給定一個特定的函數f(x),先畫出此函數圖形,選擇適當的點

畫出座標及利用上列式子(1)畫出這點的切線,

交出新的x軸交點的坐標,最後利用參數式遞迴的功能,

產生不同n值的切線和點,n值可用按鈕的方式作加減,

隨著n值的加減,便可觀察n值愈大時,視覺上和計算出的函數f(x)的牛頓法根的逼近情形。

 

以下是幾個例子的呈現:

3.3.4-1、圖3.3.4-2、圖3.3.4-3、圖3.3.4-4,分別為

,牛頓法執行過程的例子。

3.3.4-1牛頓法範例1

3.3.4-2牛頓法範例二2

 

3.3.4-3牛頓法範例3

3.3.4-4牛頓法範例四4

 

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